Matematica e Nuvole

Il titolo del post non si riferisce al fatto che i matematici hanno la testa nelle nuvole

Jonathan Swift, nei suoi Viaggi di Gulliver, colloca i matematici su Laputa, un’isola volante, che viaggia tra le nuvole, e li presenta come persone talmente distratte e perse nei loro pensieri, da aver bisogno di essere sempre accompagnate da un “flagellatore il quale, per riportarli alla realtà, ha il compito di percuoterli delicatamente sugli occhi o sulle orecchie, con una piccola verga in cima alla quale è legata una vescica piena di piselli secchi."

né a un modello matematico della forma delle nuvole

Fractal geometry plays two roles. It is the geometry of deterministic chaos and it can also describe the geometry of mountains, clouds and galaxies.
    Benoit Mandelbrot

Il titolo mi è venuto in mente per una associazione inspiegabile con la canzone di Paolo Conte, cantata anche da Fiorella Mannoia (YouTube). Sinceramente la mia idea con il testo della canzone non c'entra nulla ..... o forse si

Lei è bella, lo so
è passato del tempo e io
ce l'ho nel sangue ancor...
e vorrei e vorrei
ritornare laggiù da lei,
ma so che non andrò

Che sia la matematica?

Ma sto divagando, la storia inizia molto tempo fa, erano i primi anni 60 quando iniziarono ad essere sviluppati i primi CAS (Computer Algebra Systems). Si trattava di manipolare la matematica in modo simbolico e non numerico. Ma cosa vuol dire questo? Mi spiego meglio. Se usate una calcolatrice per fare una somma ottenete ad esempio
\[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}= 5.3333\]

questo è un calcolo numerico mentre se lo fate a mano con carta e penna o con un CAS ottenete

\[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\]

La differenza non è da poco, nel primo caso utilizziamo la rappresentazione decimale dei numeri; in effetti $$\frac{1}{3}$$ non è propriamente un numero ma un simbolo che rappresenta un numero così come $$\sqrt{2}$$ o $$\pi.$$ Un CAS utilizza le proprietà astratte di questi simboli per manipolarli e quindi, ad esempio, utilizza la regola

\[ {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}\]

per sommare due frazioni. Di solito questi programmi vengono pubblicizzati mostrando della grafica accattivante ma questa non è affatto sorprendene dal punto di vista matematico, si tratta soltanto di una bella quantità di calcoli (numerici) uniti ad un ottimo programma di visualizzazione grafica, quello che è molto più sorprendente è la capacità di svolgere calcoli simbolici molto complessi, ad esempio

\[\int \frac{x}{x^3-1}\,dx= -\frac{1}{6}\,\ln\left( {x}^{2}+x+1 \right) +\] \[+\frac{1}{3}\,\sqrt {3}\arctan \left(\frac{1}{3}\, \left( 2\,x+1 \right) \sqrt {3} \right) +\frac{1}{3}\,\ln \left( x-1 \right) +c\].

Come dicevo questi programmi nascono agli inizi degli anni 60 e sono utilizzati principalmente nella ricerca sull'Intelligenza Artificiale e sono essenzialmente scritti in LISP. Dopo qualche anno compaiono i primi programmi specifici per la matematica e uno dei più conosciuti è Derive.

Passa ancora qualche anno e sono disponibili i primi programmi proprietari, i più famosi, Mathematica e Maple sono oggi uno strumenti di uso quotidiano di scienziati di tutto il mondo, ma, come tutti i programmi proprietari tendono ad essere costosi ed ad interfacciarsi solo con pochi altri programmi, ad esempio Maple offre ora un versione per iPad ma non per altri tablet con altri sistemi operativi. Ma ci sono anche programmi freeware, come Maxima, che offrono ottime prestazioni. Non solo, a partire dal 1995 la Texas Instruments inizia a produrre piccoli calcolatori tascabili che incorporano un CAS fino alla nuova serie TI-Nspire CAS, neanche eccessivamente costosa, con il quale uno studente evoluto è in grado di svolgere con precisione una buona parte di un compito di matematica.
Ma il mondo gira sempre più rapidamente e qualche anno fa nasce il progetto Sage, an open-source mathematics software system, che ha come obiettivo quello di fornire un sistema CAS articolato che si interfacci con i vari sistemi freeware oggi disponibili creando una piattaforma dai molteplici usi, ma la storia continua, Sage da la possibilità di utilizzare the Sage Notebook, progetto che gode di molti sostegni per il suo sviluppo. Con Sage Notebook è possibile utilizzare Sage online senza una sua installazione locale e quindi possiamo dire che anche i CAS sono ora nelle nuvola (cloud computing). Fine di Matematica e Nuvole,