The Hilbert Hotel

In mezzo all'Oceano Pacifico è stato costruito l'Infinity Hotel

un moderno albergo caratterizzato dal fatto che possiede infinite stanze

\[ 1,\,2 , 3,\, \dots,\, n,\, n+1 ,\, \dots .\]

Una sera si presenta un cliente che, entrando, guarda sconsolato, il cartello che campeggia alla reception COMPLETO, timidamente si avvicina e chiede, Non è che per caso avete una stanza libera? Il portiere sorridendo risponde,  Certamente! Un po' sorpreso il cliente indica il cartello; ma il portiere dice Si è vero siamo completi ma questo è l'Albergo Infinito e non ci sono problemi, e da immediatamente disposizioni affinché il cliente della stanza 1 sia spostato nella stanza 2 , quello della stanza 2 nella 3 e così via in modo da liberare la stanza 1 per il cliente appena arrivato. Dopo essersi rinfrescato il nuovo cliente scende nella hall e si accorge che è appena arrivato un Autobus Infinito e fra sé pensa, questa volta non riusciranno a sistemarli tutti e sorride. Ma il portiere ripete esattamente le stesse parole e da disposizioni affinché il cliente della stanza 1 venga spostato nella 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6 e così via in modo da liberare tutte le camere dispari che sono quindi  libere per accomodare i passeggeri dell'Autobus Infinito.

Un poco scosso il nostro amico va al bar a prendersi un liquore e mentre è li sente annunciare l'arrivo di infiniti autobus infiniti, sogghignando e mormorando fra sé questa volta voglio proprio vedere come fanno si precipita all'ingresso. Il portiere ha sempre lo stesso sorriso e lo sente dire Certamente, non ci sono problemi siamo l'Albergo Infinito e da le seguenti disposizioni: prima fa liberare tutte le camere dispari nello stessso modo di prima e poi dice: i passeggeri dell'autobus numero uno si accomodano nelle stanze $3,\, 9, ,\, 27,\, \dots 3^n,$ quelli dell'autobus numero due nelle stanze $5,\, 25, ,\, 125,\, \dots 5^n,$ e in generale quelli dell'autobus $i$ nelle stanze $p^n$ dove $p$ è l'$(i+1)$-mo numero primo. In questo modo sistemiamo tutti e abbiamo anche infinite stanza libere come le stanze $15,\,21,\,33,\, \dots$ in modo che se arrivano altri infiniti clienti li sistemiamo senza dover far spostare tutti un'altra volta !

Questo paradosso è stato proposto da David Hilbert (1862-1943) per illustrare le difficoltà che possono nascere nel maneggare il concetto di infinito. L'esempio è contro intuitivo perché, in base alla nostra esperienza, siamo portati a pensare che, la parte sia meno del tutto, cosa che è vera per gli insiemi finiti ma è falsa per quelli infiniti. Il paradosso dell'Albergo Infinito è stato rielaborato da Luca Ronconi per un suo spettacolo Infinities tratto dal bel libro di John D. Barrow The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless tradotto in italiano da Mondadori con il titolo, L'Infinito.

NOTA TECNICA: Nel raccontare la nostra storia abbiamo implicitamente ipotizzato che i passeggeri degli autobus infiniti fossero numerati come le stanze dell'albergo e lo stesso per gli infiniti autobus che arrivano. Questo tipo di infinito si chiama numerabile in italiano e countable in inglese che vuol dire esattamente che i suoi elementi si possono numerare o contare e si indica con il simbolo $\aleph_0$ (Aleph è il nome della prima lettera dell'alfabeto fenicio e della prima lettera dell'alfabeto ebraico. Essa ha come corrispondente greco l'alfa, come corrispondente arabo l'alif e da questa lettera si è originata anche la A latina) La presenza dell'indice zero fa pensare che ce ne siano altri ... ma questa è un'altra storia infinita.

NOTA MOLTO TECNICA (solo per matematici e filosofi): Nel caso in cui gli infiniti passeggeri degli infiniti autobus infiniti non fossero già numerati (per esempio in base al posto in cui sono seduti) dovremmo sceglierli noi per assegnarli alle stanze libere questo comporta l'usa dell'Assioma numerabile della scelta che rende possibile questa scelta.