In molti test di logica/matematica spesso appaiono domande di questo tipo:
Domanda. Data la sequenza di numeri
1, 2, 3, 4, ....
quale è il numero successivo che continua la sequenza?
Risposte (una sola delle seguenti è corretta)
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
E' facile costruire successioni per le quali i primi quattro termini sono esattamente $1,\,2,\,3,\,4$ mentre il quinto è uno qualsiasi di quelli proposti. Ad esempio, se indichiamo con $[x]$ la parte intera di $x,$ ovvero il più piccolo intero minore o eguale ad $x$ allora:
- La successione $a_n:= n$ ha per quinto termine $5.$
- La successione $a_n:= n +[\dfrac{n}{5}] $ ha per quinto termine $6.$
- La successione $a_n:= n +2\cdot[\dfrac{n}{5}] $ ha per quinto termine $7.$
- La successione $a_n:= n +3\cdot[\dfrac{n}{5}]$ ha per quinto termine $8.$
- La successione $a_n:= n +4\cdot [\dfrac{n}{5}] $ ha per quinto termine $9.$
La risposta sta nel
Principio di induzione (finita) vs. Principio di induzione matematica
David Foster Wallace nel suo Everything and Moore descrive il problema nel modo seguente "As in for example the early morning, especially if you wake up
slightly before your alarm goes off, when it can suddenly and for no reason occur to you that you've been getting out of bed every morning without the slightest doubt that the floor would support you. Lying there now considering the matter, it appears at least theoretically possible that some flaw in the floor's construction or its molecular integrity could make it buckle, or that even some aberrant bit of quantum flux or something could cause you to melt right through. Meaning it doesn't seem logically impossible or anything." In effetti da un punto di vista strettamente razionale non potete avere la certezza che anche questa mattina il pavimento vi regga ma, nonostante questo, quando la sveglia suona vi alzate ed andate a farvi il caffè. Perché? Perché lo avete fatto tutte le mattine e non è successo nulla !
La questione in astratto è la seguente: posso trarre da un numero finito di eventi una legge di carattere generale (principio di induzione finita). Questo è quello che si fa normalmente nelle scienze naturali: una serie di osservazioni ed esperimenti mi portano a formulare una legge di carattere generale che è valida finché non accade un evento che la contraddica. Vi ricordate la storia (falsa) dei neutrini più veloci della luce che è apparsa sui giornali qualche tempo fa?
Sugli avvenimenti che contraddicono una teoria che per del tempo è stata considerata corretta ed improvvsamente vinee messa in discussione consiglio l'interessante libro di Nassim Taleb, The Black Swan .
La questione però non finisce qui, se a questo punto vi poneste il problema del perché il principio di induzione finita è percepito come valido dovreste rispondervi: perché lo abbiamo sempre usato ma questa affermazione ci porterebbe lungo una strada molto lunga e tortuosa.
Qualcuno potrebbe dire: nell'esempio iniziale ci sono soltanto i primi quattro numeri e questo rende possibile molte risposte diverse ma se i numeri iniziali fossero molti di più?
Qualsiasi numero non sarebbe mai sufficiente a cambiare la nostra affermazione di inadeguatezza dal punto di vista logico matematico. L'esempio forse più famoso è quello della congettura di Polya che si è rivelata falsa per $ n=906.150.257$ e quindi le successioni definite come
In conclusione dal punto di vista matematico da un numero finito di fatti, osservazioni non è possibile determinare nulla che sia valido all'infinito, che ci garantisca che le cose continuino ad essere le stesse. Questo è possibile solo utilizzando il principio di induzione matematica che permette di dimostrare le verità di certe affermazione per tutti i numeri naturali. Questo, ovviamente, solo per affermazioni logico-matematiche e non di natura fisica e quindi domani mattina quando poggiate i piedi in terra saggiate bene il pavimento per essere sicuri che vi regga.
Chi volesse approfondire l'idea di Principio di Induzione Matematica può guardare la voce corrispondente su Wikipedia.
Nell'esempio iniziale è nascosto anche un altro problema; spesso la domanda viene intesa pensando che sia sempre possibile trovare una formula (concetto che andrebbe definito) che descrive l'andamento di una successione. Questo non è vero, se prendiamo ad esempio la successione delle cifre decimali $\pi \equiv 3.14159265358979$
essa è sicuramente ben definita ma non esiste nessuna formula tramite la quale sia possibile calcolarla.
In effetti tornando alla nostra domanda iniziale, non è la domanda in sé che è sbagliata ma il fatto che sia formulata come un quiz a risposta multipla. Se la richiesta fosse: si cerchi di fornire una regola che permetta di continuare la sequenza proposta, allora la domanda sarebbe sensata.
Concludo con un aneddoto a proprito dell'induzione finita contenuto sempre nel libri di D.F. Wallace "There were four chickens in a wire coop off the garage, the brightest of whom was called Mr. Chicken. Every morning, the farm's hired man's appearance in the coop area with a certain burlap sack caused Mr. Chicken to get excited and start doing warmup-pecks at the ground, because he knew it was feeding time. It was always around the same time t every morning, and Mr. Chicken had figured out that t(man + sack) = food, and thus was confidently doing his warmup-pecks on that last Sunday morning when the hired man suddenly reached out and grabbed Mr. Chicken and in one smooth motion wrung his neck and put him in the burlap sack and bore him off to the kitchen. Memories like this tend to remain quite vivid, if you have any. But with the thrust, lying here, being that Mr. Chicken appears now actually to have been correct-according to the Principle of Induction-in expecting nothing but breakfast from that ( n + 1)th appearance of man +sack at t."
Approfondimento.
Sia data una qualsiasi sequenza di $k$ numeri reali
$$ \{ b_1,\, b_2\, \dots,\, b_k\} $$
ed un numero reale $b.$ L'espressione
$$ a_n^{k} := b_n +(b-b_n)\cdot[\frac{n}{k+1}] $$
genera una sequenza tale che
$$ a_n^{k} = b_n,\, n = 1 \dots k,\, \, a_{k+1}^k = b$$
Possiamo quindi generare delle sequenze che hanno gli stessi primi $k$ termini e un qualsiasi valore $b$ come termine $(k+1)$-mo.
slightly before your alarm goes off, when it can suddenly and for no reason occur to you that you've been getting out of bed every morning without the slightest doubt that the floor would support you. Lying there now considering the matter, it appears at least theoretically possible that some flaw in the floor's construction or its molecular integrity could make it buckle, or that even some aberrant bit of quantum flux or something could cause you to melt right through. Meaning it doesn't seem logically impossible or anything." In effetti da un punto di vista strettamente razionale non potete avere la certezza che anche questa mattina il pavimento vi regga ma, nonostante questo, quando la sveglia suona vi alzate ed andate a farvi il caffè. Perché? Perché lo avete fatto tutte le mattine e non è successo nulla !
La questione in astratto è la seguente: posso trarre da un numero finito di eventi una legge di carattere generale (principio di induzione finita). Questo è quello che si fa normalmente nelle scienze naturali: una serie di osservazioni ed esperimenti mi portano a formulare una legge di carattere generale che è valida finché non accade un evento che la contraddica. Vi ricordate la storia (falsa) dei neutrini più veloci della luce che è apparsa sui giornali qualche tempo fa?
Sugli avvenimenti che contraddicono una teoria che per del tempo è stata considerata corretta ed improvvsamente vinee messa in discussione consiglio l'interessante libro di Nassim Taleb, The Black Swan .
La questione però non finisce qui, se a questo punto vi poneste il problema del perché il principio di induzione finita è percepito come valido dovreste rispondervi: perché lo abbiamo sempre usato ma questa affermazione ci porterebbe lungo una strada molto lunga e tortuosa.
Qualcuno potrebbe dire: nell'esempio iniziale ci sono soltanto i primi quattro numeri e questo rende possibile molte risposte diverse ma se i numeri iniziali fossero molti di più?
Qualsiasi numero non sarebbe mai sufficiente a cambiare la nostra affermazione di inadeguatezza dal punto di vista logico matematico. L'esempio forse più famoso è quello della congettura di Polya che si è rivelata falsa per $ n=906.150.257$ e quindi le successioni definite come
- $a_n= n$ se la congettura di Polya è vera per $n,$
- $a_n:=$ (come volete voi) altrimenti
In conclusione dal punto di vista matematico da un numero finito di fatti, osservazioni non è possibile determinare nulla che sia valido all'infinito, che ci garantisca che le cose continuino ad essere le stesse. Questo è possibile solo utilizzando il principio di induzione matematica che permette di dimostrare le verità di certe affermazione per tutti i numeri naturali. Questo, ovviamente, solo per affermazioni logico-matematiche e non di natura fisica e quindi domani mattina quando poggiate i piedi in terra saggiate bene il pavimento per essere sicuri che vi regga.
Chi volesse approfondire l'idea di Principio di Induzione Matematica può guardare la voce corrispondente su Wikipedia.
Nell'esempio iniziale è nascosto anche un altro problema; spesso la domanda viene intesa pensando che sia sempre possibile trovare una formula (concetto che andrebbe definito) che descrive l'andamento di una successione. Questo non è vero, se prendiamo ad esempio la successione delle cifre decimali $\pi \equiv 3.14159265358979$
$1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 ....$
essa è sicuramente ben definita ma non esiste nessuna formula tramite la quale sia possibile calcolarla.
In effetti tornando alla nostra domanda iniziale, non è la domanda in sé che è sbagliata ma il fatto che sia formulata come un quiz a risposta multipla. Se la richiesta fosse: si cerchi di fornire una regola che permetta di continuare la sequenza proposta, allora la domanda sarebbe sensata.
Concludo con un aneddoto a proprito dell'induzione finita contenuto sempre nel libri di D.F. Wallace "There were four chickens in a wire coop off the garage, the brightest of whom was called Mr. Chicken. Every morning, the farm's hired man's appearance in the coop area with a certain burlap sack caused Mr. Chicken to get excited and start doing warmup-pecks at the ground, because he knew it was feeding time. It was always around the same time t every morning, and Mr. Chicken had figured out that t(man + sack) = food, and thus was confidently doing his warmup-pecks on that last Sunday morning when the hired man suddenly reached out and grabbed Mr. Chicken and in one smooth motion wrung his neck and put him in the burlap sack and bore him off to the kitchen. Memories like this tend to remain quite vivid, if you have any. But with the thrust, lying here, being that Mr. Chicken appears now actually to have been correct-according to the Principle of Induction-in expecting nothing but breakfast from that ( n + 1)th appearance of man +sack at t."
Approfondimento.
Sia data una qualsiasi sequenza di $k$ numeri reali
$$ \{ b_1,\, b_2\, \dots,\, b_k\} $$
ed un numero reale $b.$ L'espressione
$$ a_n^{k} := b_n +(b-b_n)\cdot[\frac{n}{k+1}] $$
genera una sequenza tale che
$$ a_n^{k} = b_n,\, n = 1 \dots k,\, \, a_{k+1}^k = b$$
Possiamo quindi generare delle sequenze che hanno gli stessi primi $k$ termini e un qualsiasi valore $b$ come termine $(k+1)$-mo.
1 commento:
Bell'articolo! Le domande che chiedono di completare una sequenza di numeri non hanno molto senso...
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