A qualcuno forse è venuta la voglia di costruire la successione di Collatz a partire da un seme qualsiasi, la cosa può essere fatta a mano oppure, se avete qualche conoscenza di programmazione, potete fare un programma seguendo lo schema seguente:
function collatz(n)
- while n > 1
- show n
- if n is odd then
- set n = 3n + 1
- else
- set n = n/2
- endif
- endwhile
show n
Io l'ho fatto ed ho provato con 2011 ecco quello che ho ottenuto
2011, 6034, 3017, 9052, 4526, 2263, 6790, 3395, 10186, 5093, 15280, 7640, 3820, 1910, 955, 2866, 1433, 4300, 2150, 1075, 3226, 1613, 4840, 2420, 1210, 605, 1816, 908, 454, 227, 682, 341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
In effetti sono arrivato a uno; ho fatto altre prove, anche con numeri più grandi, e la successione è sempre arrivata fino ad uno.
Ma come si fa dimostrare che questo accade sempre o a fare vedere che non è vero?
La seconda cosa è decisamente più facile poiché se troviamo un seme per cui la successione non arriva a uno allora la congettura è falsa mentre per dimostrarla dobbiamo fare vedere che vale per tutti i semi.
Cosa può accadere che impedisce alla successione di arrivare ad uno?.
Supponiamo che, a partire da un certo seme, nella successione di Collatz si presenti due volte lo stesso numero; poiché i valori della successione sono determinati dal valore precedente. Se un numero si presenta due volte nella successione allora la sequenza compresa fra queste due apparizioni si ripete all'infinito, questa sequenza di valori si chiama ciclo.
Se la successione entra in un ciclo che non contiene uno allora la successione non arriva mai a uno.
Un esempio di ciclo (buono) è quello che abbiamo visto si genera se non ci fermiamo a uno e otteniamo i valori {1,4,2} che si ripetono all'infinito.
Nessun commento:
Posta un commento