The Hilbert Hotel

In mezzo all'Oceano Pacifico è stato costruito l'Infinity Hotel

un moderno albergo caratterizzato dal fatto che possiede infinite stanze

\[ 1,\,2 , 3,\, \dots,\, n,\, n+1 ,\, \dots .\]

Una sera si presenta un cliente che, entrando, guarda sconsolato, il cartello che campeggia alla reception COMPLETO, timidamente si avvicina e chiede, Non è che per caso avete una stanza libera? Il portiere sorridendo risponde,  Certamente! Un po' sorpreso il cliente indica il cartello; ma il portiere dice Si è vero siamo completi ma questo è l'Albergo Infinito e non ci sono problemi, e da immediatamente disposizioni affinché il cliente della stanza 1 sia spostato nella stanza 2 , quello della stanza 2 nella 3 e così via in modo da liberare la stanza 1 per il cliente appena arrivato. Dopo essersi rinfrescato il nuovo cliente scende nella hall e si accorge che è appena arrivato un Autobus Infinito e fra sé pensa, questa volta non riusciranno a sistemarli tutti e sorride. Ma il portiere ripete esattamente le stesse parole e da disposizioni affinché il cliente della stanza 1 venga spostato nella 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6 e così via in modo da liberare tutte le camere dispari che sono quindi  libere per accomodare i passeggeri dell'Autobus Infinito.

Un poco scosso il nostro amico va al bar a prendersi un liquore e mentre è li sente annunciare l'arrivo di infiniti autobus infiniti, sogghignando e mormorando fra sé questa volta voglio proprio vedere come fanno si precipita all'ingresso. Il portiere ha sempre lo stesso sorriso e lo sente dire Certamente, non ci sono problemi siamo l'Albergo Infinito e da le seguenti disposizioni: prima fa liberare tutte le camere dispari nello stessso modo di prima e poi dice: i passeggeri dell'autobus numero uno si accomodano nelle stanze $3,\, 9, ,\, 27,\, \dots 3^n,$ quelli dell'autobus numero due nelle stanze $5,\, 25, ,\, 125,\, \dots 5^n,$ e in generale quelli dell'autobus $i$ nelle stanze $p^n$ dove $p$ è l'$(i+1)$-mo numero primo. In questo modo sistemiamo tutti e abbiamo anche infinite stanza libere come le stanze $15,\,21,\,33,\, \dots$ in modo che se arrivano altri infiniti clienti li sistemiamo senza dover far spostare tutti un'altra volta !

Questo paradosso è stato proposto da David Hilbert (1862-1943) per illustrare le difficoltà che possono nascere nel maneggare il concetto di infinito. L'esempio è contro intuitivo perché, in base alla nostra esperienza, siamo portati a pensare che, la parte sia meno del tutto, cosa che è vera per gli insiemi finiti ma è falsa per quelli infiniti. Il paradosso dell'Albergo Infinito è stato rielaborato da Luca Ronconi per un suo spettacolo Infinities tratto dal bel libro di John D. Barrow The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless tradotto in italiano da Mondadori con il titolo, L'Infinito.

NOTA TECNICA: Nel raccontare la nostra storia abbiamo implicitamente ipotizzato che i passeggeri degli autobus infiniti fossero numerati come le stanze dell'albergo e lo stesso per gli infiniti autobus che arrivano. Questo tipo di infinito si chiama numerabile in italiano e countable in inglese che vuol dire esattamente che i suoi elementi si possono numerare o contare e si indica con il simbolo $\aleph_0$ (Aleph è il nome della prima lettera dell'alfabeto fenicio e della prima lettera dell'alfabeto ebraico. Essa ha come corrispondente greco l'alfa, come corrispondente arabo l'alif e da questa lettera si è originata anche la A latina) La presenza dell'indice zero fa pensare che ce ne siano altri ... ma questa è un'altra storia infinita.

NOTA MOLTO TECNICA (solo per matematici e filosofi): Nel caso in cui gli infiniti passeggeri degli infiniti autobus infiniti non fossero già numerati (per esempio in base al posto in cui sono seduti) dovremmo sceglierli noi per assegnarli alle stanze libere questo comporta l'usa dell'Assioma numerabile della scelta che rende possibile questa scelta.

Buon Anno 2012 a tutti.

Galileo e l'infinito

Una volta qualcuno mi ha chiesto: Ma infinito, $\infty,$ è pari o dispari?
La domanda è intrigante ma per rispondere dobbiamo rispondere ad un'altra domanda che la precede: Ma quant'è la metà di infinito?
Questa domanda se la era già posta Galieo Galilei che aveva risposto così

Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze

Scienzia nuova prima, intorno alla resistenza de i corpi solidi all'essere spezzati. Giornata prima

Galileo Galilei

[...]

SALV. Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perché stimo che questi attributi di maggioranza, minorità ed egualità non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si può dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro. Per prova di che già mi sovvenne un sì fatto discorso, il quale per più chiara esplicazione proporrò per interrogazioni al Sig. Simplicio, che ha mossa la difficoltà.Io suppongo che voi benissimo sappiate quali sono i numeri quadrati, e quali i non quadrati.

SIMP. So benissimo che il numero quadrato è quello che nasce dalla moltiplicazione d'un altro numero in se medesimo: e così il quattro, il nove, etc., son numeri quadrati, nascendo quello dal dua, e questo dal tre, in se medesimi moltiplicati.

SALV. Benissimo: e sapete ancora, che sì come i prodotti si dimandano quadrati, i producenti, cioè quelli che si multiplicano, si chiamano lati o radici; gli altri poi, che non nascono da numeri multiplicati in se stessi, non sono altrimenti quadrati. Onde se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?

SIMP. Non si può dir altrimenti.

SALV. Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può con verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici, avvenga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né quadrato alcuno ha più d'una sola radice, né radice alcuna più d'un quadrato solo.

SIMP. Così sta.

SALV. Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può negare che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire che i numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, poiché tanti sono quante le lor radici, e radici son tutti i numeri: e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai più che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. E pur tuttavia si va la moltitudine de i quadrati sempre con maggior proporzione diminuendo, quanto a maggior numeri si trapassa; perché sino a cento vi sono dieci quadrati, che è quanto dire la decima parte esser quadrati; in dieci mila solo la centesima parte sono quadrati, in un millione solo la millesima: e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme.

SAGR. Che dunque si ha da determinare in questa occasione?

SALV. Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine de' quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl'infiniti, ma solo nelle quantità terminate. E però quando il Sig. Simplicio mi propone più linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano più punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono né più né manco né altrettanti, ma in ciascheduna infiniti: o veramente se io gli rispondessi, i punti nell'una esser quanti sono i numeri quadrati, in un'altra maggiore quanti tutti i numeri, in quella piccolina quanti sono i numeri cubi, non potrei io avergli dato sodisfazione col porne più in una che nell'altra, e pure in ciascheduna infiniti? (WikiSource)

Possiamo sintetizzare il ragionamento di Galileo in questo modo, noi possiamo fare corrispondere ad ogni numero intero $n$ il numero $n^2$ in questo modo ad ogni intero corrisponde uno ed un solo quadrato e viceversa

\[
\begin{array}{ccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & {\dots} & n\\
\updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \dots & \updownarrow\\
{1} & {4} & {9} & {16} & {25} & {36} & {49} & {\dots} & n^2
\end{array}
\]

I quadrati che appaiono nella seconda riga sono anche nella prima e quindi da una parte sembra che i quadrati siano meno dei numeri naturali ma dall'altra sono nello stesso numero perché ad ogni numero naturale corrisponde un quadrato e viceversa. Possiamo ripetere lo stesso ragionamento con i numeri pari 

\[
\begin{array}{ccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & {\dots} & n\\
\updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \dots & \updownarrow\\
{2} & {4} & {6} & {8} & {10} & {12} & {14} & {\dots} & 2\,n
\end{array}
\]

In questo modo vediamo che i numeri pari (che sono la metà di tutti i numeri naturali) sono esattamente tanti quanti sono tutti i numeri naturali e questo risponde alla nostra domanda: la metà di infinito è infinito e quindi non è né pari né dispari.
Questa strana proprietà che Galileo mise in evidenza oggi è utilizzata come definizione di infinito (lo schema con le frecce che abbiamo utilizzato si chiama corrispondenza biunivoca)

Un insieme $P$ è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Questo è esattamente quello che abbiamo fatto con i numeri naturali mettendoli in corrispondenza biunivoca prima coi quadrati e poi con i pari.

Compito a sorpresa

Un Sabato il professore di matematica entrò in classe e disse: La prossima settimana vi darò un compito a sorpresa, non vi dico il giorno ma il compito ci sarà e sarà una vera sorpresa. Gli studenti erano molto preoccupati e durante l'intervallo ne parlarono e si chiedevano in quale giorno il professore avrebbe dato il compito. Finché, ad un certo punto, intervenne Mario, il più bravo della classe in matematica e ridendo disse : Ma non lo avete capito che è uno scherzo, ci prende in giro, il compito non ci sarà.  Gli altri ragazzi sorpresi chiesero spiegazioni e Mario disse:  Il compito non può essere di Sabato perché altrimenti noi il Venerdì, alla fine delle lezioni,  sapendo che manca soltanto un giorno sapremmo che ci deve dare il compito di Sabato e non sarebbe una sorpresa. Il compito non può essere di Venerdì perché altrimenti il Giovedì alla fine delle lezioni potremmo ragionare così, se domani non c'è il compito allora domani al termine delle lezioni saremmo nella situazione che abbiamo descritto prima e che abbiamo escluso e quindi deve darcelo per forza il Venerdì e questo non è possibile perché non sarebbe una sorpresa. Ragionando nelle stesso modo possiamo escludere tutti i giorni della settimana e quindi non ci darà nessun compito. I ragazzi convinti dal ragionamento di Mario decisero che si trattava di uno scherzo e non studiarono. Il professore dette loro il compito di matematica il Mercoledì e furono tutti molto sorpresi. (Thanks to Marco Barlotti)

La curva di Batman

Devo spendere due parole sull'equazione di Batman di cui ho parlato in un post precedente. 

Essa viene descritta in forma implicita e cioè come un'equazione del tipo $$f(x,y)=0.$$ Parliamo di forma esplicita se l'equazione può essere risolta rispetto ad una delle due variabili ottenendo $x=g(y)$ oppure $y=h(x).$

Un caso semplice in cui questo non è possibile è quello delll'equazione della circonferenza di centro l'origine

$$ x^2+y^2 = r^2$$

Questa equazione non può essere risolta in modo univoco rispetto a nessuna delle due variabili. Per risolverla e descrivere la circonferenza dobbiamo scrivere due funzioni, $$y=\sqrt{r^2-x^2}$$ il cui grafico descrive la semicirconferenza superiore e $$y=-\sqrt{r^2-x^2}$$ il cui grafico descrive la semicirconferenza Inferiore.

Nel caso dell'equazione di Batman il primo dei sei fattori non sembra facilmente risolubile rispetto a nessuna delle due variabili

$$
\frac{1}{49}\,{x}^{2}\sqrt {{\frac { \left|  \left| x \right| -3 \right| }{
 \left| x \right| -3}}}+\frac{1}{9}\,{y}^{2}\sqrt {{\frac { \left| y+\frac{3}{7}\,
\sqrt {33} \right| }{y+\frac{3}{7}\,\sqrt {33}}}}-1=0
$$
mentre gli altri fattori si possono facilmente scrivere in modo esplicito, ad esempio il secondo è

$$
y=\frac{1}{2}\, \left| x \right| -{\frac {1}{112}}\, \left( 3\,\sqrt {33}-7
 \right) {x}^{2}-3+\sqrt {1- \left(  \left|  \left| x \right| -2
 \right| -1 \right) ^{2}}
$$
In questa forma è facile disegnare quel tratto di curva, usando ad esempio un'Applet Java come questa

 

mentre per la parte descritta implicitamente bisogna usare uno strumento più raffinato che trovate come sempre "fra le nuvole" come questa.

Quindi come potete immaginare la curva è formata da sei pezzi che incollati generano il disegno del pipistrello.